笛卡爾的解析幾何把描述運動的函數關系和幾何曲線相對應。牛頓在老師巴羅的指導下，在鉆研笛卡爾的解析幾何的基礎上，找到了新的出路。可以把任意時刻的速度看是在微小的時間範圍裏的速度的平均值，這就是壹個微小的路程和時間間隔的比值，當這個微小的時間間隔縮小到無窮小的時候，就是這壹點的準確值。這就是微分的概念。
求微分相當於求時間和路程關系得在某點的切線斜率。壹個變速的運動物體在壹定時間範圍裏走過的路程，可以看作是在微小時間間隔裏所走路程的和，這就是積分的概念。求積分相當於求時間和速度關系的曲線下面的面積。牛頓從這些基本概念出發，建立了微積分。
微積分的創立是牛頓最卓越的數學成就。牛頓為解決運動問題，才創立這種和物理概念直接聯系的數學理論的，牛頓稱之為"流數術"。它所處理的壹些具體問題，如切線問題、求積問題、瞬時速度問題以及函數的極大和極小值問題等，在牛頓前已經得到人們的研究了。但牛頓超越了前人，他站在了更高的角度，對以往分散的結論加以綜合，將自古希臘以來求解無限小問題的各種技巧統壹為兩類普通的算法——微分和積分，並確立了這兩類運算的互逆關系，從而完成了微積分發明中最關鍵的壹步，為近代科學發展提供了最有效的工具，開辟了數學上的壹個新紀元。
牛頓沒有及時發表微積分的研究成果，他研究微積分可能比萊布尼茨早壹些，但是萊布尼茨所采取的表達形式更加合理，而且關於微積分的著作出版時間也比牛頓早。
在牛頓和萊布尼茨之間，為爭論誰是這門學科的創立者的時候，竟然引起了壹場悍然大波，這種爭吵在各自的學生、支持者和數學家中持續了相當長的壹段時間，造成了歐洲大陸的數學家和英國數學家的長期對立。英國數學在壹個時期裏閉關鎖國，囿於民族偏見，過於拘泥在牛頓的“流數術”中停步不前，因而數學發展整整落後了壹百年。
應該說，壹門科學的創立決不是某壹個人的業績，它必定是經過多少人的努力後，在積累了大量成果的基礎上，最後由某個人或幾個人總結完成的。微積分也是這樣，是牛頓和萊布尼茨在前人的基礎上各自獨立的建立起來的。
1707年，牛頓的代數講義經整理後出版，定名為《普遍算術》。他主要討論了代數基礎及其(通過解方程)在解決各類問題中的應用。書中陳述了代數基本概念與基本運算，用大量實例說明了如何將各類問題化為代數方程，同時對方程的根及其性質進行了深入探討，引出了方程論方面的豐碩成果，如:他得出了方程的根與其判別式之間的關系，指出可以利用方程系數確定方程根之冪的和數，即“牛頓冪和公式”。
牛頓對解析幾何與綜合幾何都有貢獻。他在1736年出版的《解析幾何》中引入了曲率中心，給出密切線圓(或稱曲線圓)概念，提出曲率公式及計算曲線的曲率方法。並將自己的許多研究成果總結成專論《三次曲線枚舉》，於1704年發表。此外，他的數學工作還涉及數值分析、概率論和初等數論等眾多領域。
在壹六六五年，剛好二十二歲的牛頓發現了二項式定理，這對於微積分的充分發展是必不可少的壹步。二項式定理把能為直接計算所發現的
等簡單結果推廣如下的形式
推廣形式
二項式級數展開式是研究級數論、函數論、數學分析、方程理論的有力工具。在今天我們會發覺這個方法只適用於n是正整數，當n是正整數1，2，3，....... ，級數終止在正好是n＋1項。如果n不是正整數，級數就不會終止，這個方法就不適用了。但是我們要知道那時，萊布尼茨在壹六九四年才引進函數這個詞，在微積分早期階段，研究超越函數時用它們的級來處理是所用方法中最有成效的。
創建微積分
牛頓在數學上最卓越的成就是創建微積分。他超越前人的功績在於，他將古希臘以來求解無限小問題的各種特殊技巧統壹為兩類普遍的算法－－微分和積分，並確立了這兩類運算的互逆關系，如：面積計算可以看作求切線的逆過程。
那時萊布尼茲剛好亦提出微積分研究報告，更因此引發了壹場微積分發明專利權的爭論，直到萊氏去世才停息。而後世己認定微積是他們同時發明的。
微積分方法上，牛頓所作出的極端重要的貢獻是，他不但清楚地看到，而且大膽地運用了代數所提供的大大優越於幾何的方法論。他以代數方法取代了卡瓦列裏、格雷哥裏、惠更斯和巴羅的幾何方法，完成了積分的代數化。從此，數學逐漸從感覺的學科轉向思維的學科。
微積分產生的初期，由於還沒有建立起鞏固的理論基礎，被有些喜愛思考的人研究。更因此而引發了著名的第二次數學危機。這個問題直到十九世紀極限理論建立，才得到解決。
方程論與變分法
牛頓在代數方面也作出了經典的貢獻，他的《廣義算術》大大推動了方程論。他發現實多項式的虛根必定成雙出現，求多項式根的上界的規則，他以多項式的系數表示多項式的根n次冪之和公式，給出實多項式虛根個數的限制的笛卡兒符號規則的壹個推廣。
牛頓在還設計了求數值方程的實根近似值的對數和超越方程都適用的壹種方法，該方法的修正，現稱為牛頓方法。
牛頓在力學領域也有偉大的發現，這是說明物體運動的科學。第—運動定律是伽利略發現的。這個定律闡明，如果物體處於靜止或作恒速直線運動，那麽只要沒有外力作用，它就仍將保持靜止或繼續作勻速直線運動。這個定律也稱慣性定律，它描述了力的壹種性質：力可以使物體由靜止到運動和由運動到靜止，也可以使物體由壹種運動形式變化為另壹種形式。此被稱為牛頓第壹定律。力學中最重要的問題是物體在類似情況下如何運動。牛頓第二定律解決了這個問題；該定律被看作是古典物理學中最重要的基本定律。牛頓第二定律定量地描述了力能使物體的運動產生變化。它說明速度的時間變化率（即加速度a與力F成正比，而與物體的質量裏成反比，即a=F/m或F＝ma；力越大，加速度也越大；質量越大，加速度就越小。力與加速度都既有量值又有方向。加速度由力引起，方向與力相同；如果有幾個力作用在物體上，就由合力產生加速度，第二定律是最重要的，動力的所有基本方程都可由它通過微積分推導出來。
此外，牛頓根據這兩個定律制定出第三定律。牛頓第三定律指出，兩個物體的相互作用總是大小相等而方向相反。對於兩個直接接觸的物體，這個定律比較易於理解。書本對子桌子向下的壓力等於桌子對書本的向上的托力，即作用力等於反作用力。引力也是如此，飛行中的飛機向上拉地球的力在數值上等於地球向下拉飛機的力。牛頓運動定律廣泛用於科學和動力學問題上。
牛頓運動定律
牛頓運動定律是艾薩克·牛頓提出了物理學的三個運動定律的總稱，被譽為是經典物理學的基礎。
為“牛頓第壹定律（慣性定律：壹切物體在不受任何外力的作用下，總保持勻速直線運動狀態或靜止狀態，直到有外力迫使它改變這種狀態為止。——它明確了力和運動的關系及提出了慣性的概念）”、“牛頓第二定律（物體的加速度跟物體所受的合外力F成正比，跟物體的質量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。）公式：F=kma（當m單位為kg，a單位為m/s2時，k=1）、牛頓第三定律（兩個物體之間的作用力和反作用力，在同壹條直線上，大小相等，方向相反。）”
牛頓法
牛頓叠代法（Newton's method）又稱為牛頓-拉夫遜方法（Newton-Raphson method），它是牛頓在17世紀提出的壹種在實數域和復數域上近似求解方程的方法。多數方程不存在求根公式，因此求精確根非常困難，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要。方法使用函數f(x)的泰勒級數的前面幾項來尋找方程f(x) = 0的根。牛頓叠代法是求方程根的重要方法之壹，其最大優點是在方程f(x) = 0的單根附近具有平方收斂，而且該法還可以用來求方程的重根、復根。另外該方法廣泛用於計算機編程中。 設r是f(x) = 0的根，選取x0作為r初始近似值，過點（x0,f(x0)）做曲線y = f(x)的切線L，L的方程為y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L與x軸交點的橫坐標 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，稱x1為r的壹次近似值。過點（x1,f(x1)）做曲線y = f(x)的切線，並求該切線與x軸交點的橫坐標 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，稱x2為r的二次近似值。重復以上過程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，稱為r的n+1次近似值，上式稱為牛頓叠代公式。 解非線性方程f(x)=0的牛頓法是把非線性方程線性化的壹種近似方法。把f(x)在x0點附近展開成泰勒級數 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其線性部分，作為非線性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展開的前兩項，則有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=f(x)=0 設f'(x0)≠0則其解為x1=x0－f(x0)/f'(x0) 這樣，得到牛頓法的壹個叠代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。
光學貢獻
牛頓望遠鏡
在牛頓以前，墨子、培根、達·芬奇等人都研究過光學現象。反射定律是人們很早就認識的光學定律之壹。近代科學興起的時候，伽利略靠望遠鏡發現了“新宇宙”，震驚了世界。荷蘭數學家斯涅爾首先發現了光的折射定律。笛卡爾提出了光的微粒說……
牛頓以及跟他差不多同時代的胡克、惠更斯等人，也象伽利略、笛卡爾等前輩壹樣，用極大的興趣和熱情對光學進行研究。1666年，牛頓在家休假期間，得到了三棱鏡，他用來進行了著名的色散試驗。壹束太陽光通過三棱鏡後，分解成幾種顏色的光譜帶，牛頓再用壹塊帶狹縫的擋板把其他顏色的光擋住，只讓壹種顏色的光在通過第二個三棱鏡，結果出來的只是同樣顏色的光。這樣，他就發現了白光是由各種不同顏色的光組成的，這是第壹大貢獻。
牛頓為了驗證這個發現，設法把幾種不同的單色光合成白光，並且計算出不同顏色光的折射率，精確地說明了色散現象。揭開了物質的顏色之謎，原來物質的色彩是不同顏色的光在物體上有不同的反射率和折射率造成的。公元1672年，牛頓把自己的研究成果發表在《皇家學會哲學雜誌》上，這是他第壹次公開發表的論文。
許多人研究光學是為了改進折射望遠鏡。牛頓由於發現了白光的組成，認為折射望遠鏡透鏡的色散現象是無法消除的(後來有人用具有不同折射率的玻璃組成的透鏡消除了色散現象)，就設計和制造了反射望遠鏡。
牛頓不但擅長數學計算，而且能夠自己動手制造各種試驗設備並且作精細實驗。為了制造望遠鏡，他自己設計了研磨拋光機，實驗各種研磨材料。公元1668年，他制成了第壹架反射望遠鏡樣機，這是第二大貢獻。公元1671年，牛頓把經過改進得反射望遠鏡獻給了皇家學會，牛頓名聲大震，並被選為皇家學會會員。反射望遠鏡的發明奠定了現代大型光學天文望遠鏡的基礎。
同時，牛頓還進行了大量的觀察實驗和數學計算，比如研究惠更斯發現的冰川石的異常折射現象，胡克發現的肥皂泡的色彩現象，“牛頓環”的光學現象等等。
牛頓還提出了光的“微粒說”，認為光是由微粒形成的，並且走的是最快速的直線運動路徑。他的“微粒說”與後來惠更斯的“波動說”構成了關於光的兩大基本理論。此外，他還制作了牛頓色盤等多種光學儀器。
構築力學大廈
牛頓是經典力學理論的集大成者。他系統的總結了伽利略、開普勒和惠更斯等人的工作，得到了著名的萬有引力定律和牛頓運動三定律。
在牛頓以前，天文學是最顯赫的學科。但是為什麽行星壹定按照壹定規律圍繞太陽運行？天文學家無法圓滿解釋這個問題。萬有引力的發現說明，天上星體運動和地面上物體運動都受到同樣的規律——力學規律的支配。
早在牛頓發現萬有引力定律以前，已經有許多科學家嚴肅認真的考慮過這個問題。比如開普勒就認識到，要維持行星沿橢圓軌道運動必定有壹種力在起作用，他認為這種力類似磁力，就像磁石吸鐵壹樣。1659年，惠更斯從研究擺的運動中發現，保持物體沿圓周軌道運動需要壹種向心力。胡克等人認為是引力，並且試圖推到引力和距離的關系。
1664年，胡克發現彗星靠近太陽時軌道彎曲是因為太陽引力作用的結果；1673年，惠更斯推導出向心力定律；1679年，胡克和哈雷從向心力定律和開普勒第三定律，推導出維持行星運動的萬有引力和距離的平方成反比。
牛頓自己回憶，1666年前後，他在老家居住的時候已經考慮過萬有引力的問題。最有名的壹個說法是：在假期裏，牛頓常常在花園裏小坐片刻。有壹次，象以往屢次發生的那樣，壹個蘋果從樹上掉了下來……
壹個蘋果的偶然落地，卻是人類思想史的壹個轉折點，它使那個坐在花園裏的人的頭腦開了竅，引起他的沈思：究竟是什麽原因使壹切物體都受到差不多總是朝向地心的吸引呢？牛頓思索著。終於，他發現了對人類具有劃時代意義的萬有引力。
牛頓高明的地方就在於他解決了胡克等人沒有能夠解決的數學論證問題。1679年，胡克曾經寫信問牛頓，能不能根據向心力定律和引力同距離的平方成反比的定律，來證明行星沿橢圓軌道運動。牛頓沒有回答這個問題。1685年，哈雷登門拜訪牛頓時，牛頓已經發現了萬有引力定律：兩個物體之間有引力，引力和距離的平方成反比，和兩個物體質量的乘積成正比。
當時已經有了地球半徑、日地距離等精確的數據可以供計算使用。牛頓向哈雷證明地球的引力是使月亮圍繞地球運動的向心力，也證明了在太陽引力作用下，行星運動符合開普勒運動三定律。
在哈雷的敦促下，1686年底，牛頓寫成劃時代的偉大著作《自然哲學的數學原理》壹書。皇家學會經費不足，出不了這本書，後來靠了哈雷的資助，這部科學史上最偉大的著作之壹才能夠在1687年出版。
牛頓在這部書中，從力學的基本概念(質量、動量、慣性、力)和基本定律(運動三定律)出發，運用他所發明的微積分這壹銳利的數學工具，不但從數學上論證了萬有引力定律，而且把經典力學確立為完整而嚴密的體系，把天體力學和地面上的物體力學統壹起來，實現了物理學史上第壹次大的綜合。